Піраміда. Формули та властивості піраміди

Піраміда — це багатогранна об’ємна фігура, яка обмежена плоским багатокутником (основа), та трикутниками, що мають спільну вершину, яка не лежить в площині основи.

Означення. Бічна грань – це трикутник у яких один кут лежить на вершині піраміди, а протилежна йому сторона, є стороною основи (багатокутника).

Означення. Бічні ребра – спільні сторони бічних граней. У піраміди стільки ребер скільки кутів у багатокутника.

Означення. Висота піріміди – це перпендикуляр, опущений з вершини на основу піраміди.

Означення. Апофема – це перпендикуляр бічної грані піраміди, опущений з вершини піраміди до сторони основи.

Означення. Діагональний перетин – це перетин піраміди площиною, яка проходить через вершину піраміди та діагональ основи.

Означення. Правильна піраміда – це піраміда у якої основою є правльний багатокутник, а висота опускається в центр основи.

Об’єм та площа поверхні піраміди

Означення. Бічна поверхня піраміди – це сукупна площа всіх бокових граней піраміди.
Означення. Повна поверхня піраміди – це сукупність площ бічної поверхні та основи піраміди.
Формула. Площа бічної поверхні правильної піраміди через периметр основи та апофему:

Властивості піраміди

Якшо всі бічні ребра рівні, то навколо основи піраміди можна описати коло, та вершина піраміди проецюється в його центр.

Якшо всі бічні ребра рівні, то бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути.

Бічні ребра рівні, якщо бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути або якщо навколо основи піраміди можна описати коло та вершина піраміди проецюється в його центр.

Якшо бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом, то в основу піраміди можна вписати коло, та вершина пірамиди проецюється в його центр.

Якшо бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом, то высоти бічих граней рівні.

Властивості правильної піраміди

7. Навколо піраміди можна описати сферу. Центром описаної сфери буде точка перетину перпендикулярів, які проходять через середину ребер.

8. В піраміду можна вписати сферу. Центром вписаної сфери буде точка перетину бісектрис, які виходять з кута між ребром та основою.

9. Якщо центр вписаної сфери співпадає з центром описаної сфери, то сума плоских кутів при вершині дорівнює π, або один кут дорівнює π/ n , де n – це кількість кутів в основі піраміди.

Зв’язок піраміди зі сферою

Навколо піраміди можна описати сферу тоді, коли в основі пірамиди лежить многкутник, навколо якого можна описати коло (необхідна і достатня умова). Центром сфери будет точка перетину площин, що проходять через середини бічних ребер піраміди перпендикулярно до них.

Навколо будьякої трикутної або правильної піраміди завжди можна описати сферу.

В піраміду можна вписати сферу, якщо бісекторні площини внутрішніх двогранних кутів піраміди перетинаються в одній точці (необхідна і достатня умова). Ця точка буде центром сфери.

Зв’язок піраміди з конусом

Конус називається вписаним в піраміду, якщо їх вершини співпадають, а його основа вписана в основу піраміди.

Конус можна вписати в пирамиду, якщо апофеми піраміди рівні між собою.

Конус называється описаним навколо піраміди, якщо їх вершини співпадають, а його основа описана навколо основи піраміди.

Конус можна описати навколо піраміди якщо, всі бічні ребра піраміди рівні між собою.

Зв’язок піраміди з циліндром

Циліндр называється описаним навколо піраміди, якщо вершина піраміди лежить но одій основі циліндра, а друга основа циліндра описана навколо основи піраміди.

Цилиндр можна описати навколо піраміди якщо, навколо основи піраміди можна описати коло.

Означення. Зрізана піраміда (пірамідальна призма) – це багатогранник, який знаходиться між основою піраміди та площиною перетину, паралельною до основи. Таким чином піраміда має більшу основу та меншу основу, яка подібна до більшої. Бічні грані є трапеції.

Означення. Тикутна піраміда (чотиригранник) – це піраміда у якої грані та основа є довільними трикутниками.

У чотиригранника чотири грані та чотири вершини і шість ребер, де будь-які два ребра не мають спільних вершин та не дотикаються.

Кожна вершина складається з трьох граней та ребер, які утворюють тригранний кут.

Відрізок, який сполучає вершину чотиригранника з центром протилежної грані називається медіаною чотиригранника.

Бімедіаною називається відрізок, який сполучає середини протилежних ребер, що не дотикаються.

Всі бімедіани та медіани чотиригранника перетинаються в одній точці. При цьому бімедіани діляться навпіл, а медіани у відношенні 3:1 починаючи з вершини.

Означення. Похила піраміда – це піраміда у якої одне з ребер утворює тупий кут з основою.
Означення. Прямокутна піраміда – це піраміда у якої одне з бічних ребер перпендикулярне до основи.

Означення. Гострокутна піраміда – це піраміда у якої апофема більша за половину довжини сторони основи.

Означення. Тупокутна піраміда – це піраміда у якої апофема менша за половину довжини сторони основи.

Означення. Правльний тетраедр – чотиригранник у якого всі чотири грані – рівносторонні трикутники. Він є одним із п’яти правильних багатокутників. У правильного тетраедра всі двогранні кути (між гранями) та тригранні кути (при вершині) рівні.

Означення. Прямокутний тетраедр називається чотиригранник у якого прямий кут між трьома ребрами при вершині (ребра перпендикулярні). Три грані, що утворюють такий прямокутний тригранний кут, є прямокутними трикутниками, а основа довільним трикутником. Апофема будь-якої грані дорівнює половині строни основи, на яку падає апофема.

Означення. Рівногранний тетраедр називається чотиригранник у якого бічні грані рівні між собою, а основа – правильний трикутник. У такого тетраедра грані це рівнобедрені трикутники.

Означення. Ортоцентричний тетраедр називається чотиригранник у якого всі висоти (перпендикуляри), що опущені з вершини до протилежної грані, перетинаються в одній точці.

Означення. Зіркова піраміда називається багатогранник у якого основою є зірка.

Означення. Біпіраміда – багатогранник, який складається з двох різних пірамід (також можуть бути зрізані піраміди), що мають спільну основу, а вершини лежать по різні сторони від площини основи.

Сувора заборона: чому не можна залізати на піраміди в Єгипті

Єгипетські закони забороняють підійматися на піраміди. За це сміливцям загрожує від місяця до 3 років в’язниці.

Чому люди хочуть залізти на піраміди

В інтернеті є чимало відео, як певні особи підіймаються на верхівки величних пірамід. Вони роблять це для фото, а також, щоб помилуватися краєвидами пустелі та Каїра.

Деякі екстремали мріють піднятися на піраміди / Фото Unsplash

Піраміди ваблять тих, хто полюбляє екстрим. А дехто навіть залізає на верхівку пірамід з релігійних мотивів.

Відомий випадок, коли чоловік заліз на вершечок, щоб помолитися. Однак злізти назад вже не зміг – вапнякові камені обвалилися. Довелося знімати його вертольотом.

Зараз влада ставиться до тих, хто “підкорює” піраміди, досить суворо. Раніше екстремалам загрожувала депортація без права повернутися. А з 2020 року за спробу піднятися можна потрапити до в’язниці.

Чому піраміди небезпечні

Підійматися на піраміди суворо заборонено / Фото Unsplash

1. Найперше – це небезпечно. Час сильно знищив піраміди, крихкі вапнякові камені можуть руйнуватися під ногами.
2. Люди нищать пам’ятки. Деякі туристи використовують спорядження, що руйнує піраміди. А дехто ще й намагається відколоти та забрати із собою шматочок пам’ятки.
3. Вандали пишуть на пірамідах і навіть залишають сміття.

Не в Єгипті та не в Гізі: де можна знайти найдревнішу у світі піраміду

Від Стародавнього Єгипту до Мезоамерики величні цивілізації минулих епох будували колосальні піраміди. Деякі з них збереглися до наших днів і навіть є Чудесами світу.

Хоча такі місця, як Гіза, легко спадають на думку як відомі туристичні атракції, однак вважати, що там знаходиться найстаріша піраміда у світі, хибно. Виявляється, вона розташована за межами Єгипту, пише IFLScience.

У Фокус.Технології з’явився свій Telegram-канал. Підписуйтесь, щоб не пропускати найсвіжіші та найзахопливіші новини зі світу науки!

Найдавніша піраміда Єгипту

Недалеко від Великої піраміди Гізи, всього декілька км на південь, знаходиться найстаріша піраміда Єгипту. Розташована в Саккарі, піраміда Джосера зведена близько 2630 року до н. е. як пам’ятник для царя Джосера.

Це архітектурне диво передує Великій піраміді, побудованій для царя Хуфу, приблизно на 70 років. Піраміда Джосера має особливий вигляд, що відрізняється від пірамід Гізи. Її збудували методом накладання кам’яних платформ одна на одну, сформувавши ступінчасту піраміду.

Натхненником цього дизайну був верховний жрець, на ім’я Імхотеп, який служив радником Джосера. Видатність Імхотепа як світила в царині мистецтва і науки була настільки надзвичайною, що після смерті його обожествили, зрештою, вшановуючи як бога мудрості і медицини.

Протягом багатьох років вважалося, що піраміда Джосера була найдавнішою з виявлених пірамід. Однак нещодавні знахідки у віддаленому куточку земної кулі докорінно змінили цей наратив, вказуючи на те, що єгиптяни, можливо, випереджені в перегонах за зведення найстарішої піраміди.

Стародавня піраміда в Перу

У давнину піраміди були в моді по всій Америці, а храми з нахиленими сторонами користувалися популярністю в імперіях мая, ацтеків та інків. Серед найбільш знакових з цих архітектурних чудес — храмовий комплекс Тікаль у Гватемалі, який, зокрема, прикрасив екран у фільмі “Зоряні війни: Епізод IV: Нова надія”.

Проте, щоб відкопати найдавнішу піраміду в Західній півкулі, треба вирушити в значну подорож на південь, через джунглі Центральної Америки до піднесеної пустельної місцевості Перу. Саме в цьому регіоні на початку 20 століття археологи випадково натрапили на стародавній мегаполіс Карал.

Враховуючи складний характер цього місця, дослідники спочатку припустили, що Карал, мабуть, був порівняно недавньою спорудою. Однак новаторське дослідження, опубліковане в 2001 році, кардинально змінило це уявлення. Застосувавши радіовуглецевий метод датування для визначення віку матеріалів, використаних у будівництві Каралу, автори дослідження зробили вражаючі відкриття. Вони припустили, що це стародавнє місто могло бути засноване ще в 2627 році до н. е.

У світлі цього надзвичайного відкриття археологи припускають, що шість пірамід Карала, включаючи вражаючу Піраміду Майор, могли з’явитися ще до єгипетської споруди в Саккарі. З усім тим, через невловимість точного віку споруд Каралу, залишається складним завданням остаточно визначити, яка з цих стародавніх цивілізацій здійснила подвиг будівництва пірамід першою.

Гунунг Паданг — просто пагорб чи найстаріша у світі піраміда?

Протягом багатьох десятиліть археологи б’ються над питанням, де знаходиться найстаріша у світі піраміда — в Єгипті чи Перу. Однак, відносний новачок у цьому змаганні тепер постає як потенційний переможець. Розташований в Індонезії, обширний мегалітичний комплекс, відомий як Гунунг Паданг, височіє на вершині пагорба, який, як стверджують деякі вчені, може мати ознаки споруди, створеної людиною.

Вперше представлена у 2018 році, ця теорія викликала палкі дебати і наштовхнулася на спротив наукової спільноти. Попри скептицизм, команда археологів стверджує, що зібрала переконливі докази на користь того, що пагорб навмисно сформований у кілька етапів протягом незліченних тисячоліть.

Використовуючи можливості георадара, ці дослідники стверджують, що вони виявили ознаки фундаментального шару, збудованого щонайменше 9 500 років тому, та потенційно може сягати 28 000 років. Якщо ці твердження підтвердяться, то Гунунг Паданг зі значним відривом стане найстарішою пірамідою у світі.

Раніше Фокус писав про можливе підземне місто під Сфінксом: чи приховує влада таємниці про нього.

А також ми розповідали про загадки грецької мавпи. Відкриття приматів, яке переписало історію.

• Читайте нас у:
• Читайте у Telegram
• Читайте у Facebook
• Читайте у Twitter

• Теги:
• перу
• археологія
• єгипет
• історія
• древні люди
• піраміди
• Стародавній Єгипет

• Поширити:
• відправити у Telegram
• поділитись у Facebook
• твітнути
• відправити у Viber
• відправити у Whatsapp
• відправити у Messenger