Таблиця “Площа і її вимір”

З вимірюванням довжин дуже тісно пов’язане вимірювання площ. З математики відомі формули площ квадрата і прямокутника. У квадрата всі сторони рівні, тому досить виміряти одну сторону, а у прямокутника протилежні сторони рівні, тому треба знати довжину і ширину.

Площа позначається буквою S, і формули для розрахунку площ наступні:

Ѕкв = a2, Ѕпр = а ∙ в.одиницею виміру площі є квадратний метр (м 2 ).

Для вимірювання малих площ застосовуються см2 і мм2, а великі площі – в км 2 . У сільському господарстві для вимірювання земельних ділянок використовують позасистемні одиниці: гектар (га) – для великих, ар (а) або «сотка» – для невеликих (присадибних або дачних) ділянок землі. 1га = 10 000 м2, 1 а = 100 м 2 .

Дуже часто на практиці мають справу з різними колами. Це може бути циркова арена, кришка столу, розріз стовбура дерева. Формула знаходження площі кола: S = πR2. (π (pi) – це нескінченний дріб ≈ 3,14 детально вивчається в курсі алгебри).

А як визначити площу, обмежену довільною кривою лінією? Така площа може бути біля озера, галявини в лісі, листочка з дерева.

Існує правило знаходження площі тіл довільної форми:

• Розбити всю поверхню на рівні квадрати з відомою площею.
• Підрахувати кількість цілих квадратів.
• Підрахувати число нецілих квадратів і поділити це число на два. (Це буде приблизна кількість цілих квадратів).
• Скласти результати пунктів 2 і 3.
• Помножити площу одного квадрата на загальне число цілих квадратів.

Площа великих територій зображують в умовному масштабі або фотографують, застосовують прийом розбиття на квадрати і знаходять площу фотографії. Використовуючи масштаб обчислюють реальну площу поверхні.

Досить часто площа доводиться знаходити в географії. Кожна держава, область, місто мають свої площі. У будівництві – будь-яка будівля має площу, яку необхідно знати будівельникам. У сільському господарстві ведеться постійний облік площ для посівних культур.

Таблиця з поясненнями на тему “Площа і її вимір”

Підсумок: Площа – це важливе поняття в геометрії та науці про виміри. Вимірювання площі використовує відповідні формули та методи для оцінки розміру об’єктів чи територій.

Розділ І Фізика як природнича наука. Методи наукового пізнання

Для визначення площі деякої плоскої геометричної фігури досить зробити два вимірювання. Розглянемо процедуру визначення площі прямокутника (мал. 7.1). Позначимо довжину сторони АВ літерою а (довжина прямокутника), довжину сторони ВС – літерою b (ширина прямокутника). Тоді площа, яку позначають великою літерою S, дорівнює добутку довжини прямокутника і його ширини: S = а ∙ b. Площа паралелограма ABCD (мал. 7.2) дорівнює площі прямокутника ABMK. Лінію BM = b називають висотою. Ще простіше визначити площу квадрата(мал. 7.3), вона дорівнює квадрату сторони цієї фігури.

Площа трикутника (наприклад трикутника ABC на (мал. 7.1) дорівнює половині площі добудованого на ньому прямокутника і обчислюється за формулою S = а ∙ b (половина добутку основи на висоту).

Проблема визначення площі круга була вирішена ще в Стародавній Греції. Для цього потрібно знати радіус круга і число «пі», приблизне значення якого: ≈ 3,14 .

Значення числа я можна отримати, якщо розділити довжину кола L на його діаметр. Причому немає значення, яких розмірів коло і в яких одиницях виміряні довжина і діаметр (треба тільки, щоб це були одні й ті самі одиниці).

Обчислення об’єму простих фігур

Кожне тіло займає певний об’єм. В одній і тій самій частині простору не можуть одночасно знаходитися два тіла. Чим більшу частину простору займає тіло, тим більший об’єм воно має. Об’єм позначають літерою V (від volume – об’єм). Щоб знайти об’єм прямокутного бруска чи ящика (математики називають цю геометричну фігуру паралелепіпедом) зі сторонами a, b i h, треба довжину а помножити на ширину b і на висоту h(мал. 7.6):

Оскільки S = a . b, де S – це площа основи ящика, то формулу (8.3) можна переписати і так:

У куба всі ребра рівні, тому його об’єм дорівнює:

Щоб знайти об’єм, треба довжину а помножити на ширину b і на висоту h: V=abh

Одиниці вимірювання об’єму

Оскільки довжини сторін вимірюють в одиницях довжини (метр, дециметр, сантиметр і т. д.), то одиниці вимірювання об’єму – це одиниці довжини, піднесені до третього степеня.

Куб з ребром 1 м має об’єм 1 м 3 (один кубічний метр). Один літр (1 л), за означенням, – це об’єм куба з ребром 1 дм (мал. 7.7), тобто 1 л = 1 дм 3 (дециметр кубічний). Один літр містить 1000 кубічних сантиметрів: 1 л = 1000 см 3 . Об’єм в один сантиметр кубічний ще називають мілілітром, тобто тисячною частиною літра (1 мл = 0,001 л).

Мал. 7.7. Один літр – це об’єм куба зі стороною 1 дм

Нагадаємо, що дециметр – це десята частина метра, а сантиметр – сота частина метра.

Вимірювання об’єму тіл неправильної форми

Прилад для вимірювання об’єму називають мензуркою, або мірним циліндром (мал. 7.8).

Мензурка – це прозора посудина з нанесеними поділками, які означають об’єм у мілілітрах. Удома у вас, мабуть, є мірна склянка, тобто та сама мензурка. Літрова чи півлітрова банки або склянка (250 мл.) також можуть використовуватися, якщо не потрібна велика точність.

За допомогою мензурки можна визначити об’єм тіла неправильної форми. Для цього в мензурку треба налити воду і визначити об’єм цієї води. Потім повністю занурити тіло у воду й запам’ятати нове значення об’єму. Різниця виміряних значень дорівнює об’єму тіла.

З історії науки. Існує легенда, згідно з якою першим такий спосіб визначення об’єму винайшов давньогрецький учений Архімед. Відбулося це під час роздумів над досить складною задачею, запропонованою царем Гієроном.

Ідея розв’язання виникла тоді, коли Архімед заліз у ванну й помітив, що рівень води піднявся. Учений зрозумів, що витіснений об’єм води якраз дорівнює об’єму зануреного в неї тіла. У захопленні Архімед вистрибнув із ванни і побіг вулицею, вигукуючи «еврика, еврика!», що в перекладі з давньогрецької означає «знайшов, знайшов!».

Мал. 7.8. Поділки мензурки визначають об’єм у мілілітрах (тобто см 3 )

Визначте об’єм тіла неправильної форми, яке не поміщається у мензурку.

7.1. Визначте площу ступні вашої ноги.

• Площа тіл правильної форми дорівнює добутку основи на висоту і вимірюється в квадратних одиницях довжини

• Об’єм тіл правильної форми визначається як добуток площі основи на висоту і вимірюється в кубічних одиницях

• Об’єм тіл довільної форми визначають за допомогою мензурки

• Площу круга визначають за формулою S = ∙ R 2 .

• Об’єм кулі дорівнює V = ∙ R 3

1. Як визначають площу а) прямокутника, б) квадрата?

2. Як обчислюють площу круга?

4. Дайте визначення числа п.

7. Скільки мілілітрів в одному літрі?

8. Обчисліть площу прямокутника зі сторонами 5 і 4 см.

9. Обчисліть площу круга діаметром 10 см.

10. Обчисліть об’єм паралелепіпеда зі сторонами 6 см, 5 см і 4 см.

11. Обчисліть об’єм циліндра, площа основи якого S = 30 см 3 , а висота 8 см.

12. Як визначають об’єм тіл довільної форми?

13. Як можна визначити за допомогою негнучкої лінійки об’єм м’яча?

14. Як обчислюють площу неправильних фігур?

3.3: Формула площі трикутника

Виділіть усі твердження, які відповідають дійсності щодо основ і висот у трикутнику.

1. Підставою може бути будь-яка сторона трикутника.
2. Існує тільки одна можлива висота.
3. Висота – це завжди одна зі сторін трикутника.
4. Висоту, яка відповідає основі, повинна бути намальована під гострим кутом до основи.
5. Висоту, яка відповідає основі, повинна бути намальована під прямим кутом до основи.
6. Після того, як ми виберемо основу, є лише один сегмент, який представляє відповідну висоту.
7. Відрізок, що представляє висоту, повинен пройти через вершину.

Вправа \(\PageIndex\) : Finding a Formula for Area of a Triangle

• Визначте підставу і відповідну висоту, і запишіть їх довжини в таблицю.
• Знайдіть площу трикутника і запишіть її в останній стовпець таблиці.

Таблиця \(\PageIndex\)

В останньому рядку напишіть вираз для площі будь-якого трикутника, використовуючи \(b\) і \(h\) .

Вправа \(\PageIndex\) : Applying the Formula for Area of Triangles

Для кожного трикутника обведіть базове вимірювання, яке можна використовувати, щоб знайти площу трикутника. Потім знайдіть площу будь-яких трьох трикутників. Покажіть свої міркування.

Резюме

• Ми можемо вибрати будь-яку з трьох сторін трикутника, щоб назвати основою. Термін «база» позначає як сторону, так і її довжину (вимір).
• Відповідна висота – довжина перпендикулярного відрізка від основи до протилежної йому вершини. Протилежна вершина – це вершина, яка не є кінцевою точкою підстави.

Ось три пари основ і висот для одного трикутника. Пунктирні сегменти на діаграмах відображають висоту.

Відрізок, що показує висоту, повинен бути намальований під прямим кутом до основи, але його можна намалювати більш ніж в одному місці. Він не повинен проходити через протилежну вершину, якщо вона з’єднує підставу і лінію, яка паралельна підставі і проходить через протилежну вершину, як показано тут.

Пари основа-висота в трикутнику тісно пов’язані з парами в паралелограмі. Нагадаємо, що дві копії трикутника можуть складатися в один або кілька паралелограмів. Кожен паралелограм поділяє принаймні одну основу з трикутником.

Малюнок \(\PageIndex\) : Два однакових трикутника, кожен з яких має копію, що складається трикутник на два різних паралелограма. У кожному паралелограмі є нижня сторона позначена основою і пунктирними лініями під прямим кутом до основи, що позначають висоту паралелограма.

Для будь-якої основи, яку вони поділяють, відповідна висота також є спільною, як показано пунктирними сегментами.

Ми можемо використовувати вимірювання базової висоти та наші знання паралелограм, щоб знайти площу будь-якого трикутника.

• Формула площі паралелограма з підставою \(b\) і висотою \(h\) є \(b\cdot h\) .
• Трикутник займає половину площі паралелограма з однаковою основою і висотою. Тому ми можемо виразити \(A\) площу трикутника як: \(A=\frac\cdot b\cdot h\)

• Площа трикутника А становить 15 квадратних одиниць тому що \(\frac\cdot 5\cdot 6=15\) .
• Площа трикутника B становить 4.5 квадратних одиниць тому що \(\frac\cdot 3\cdot 3=4.5\) .
• Площа трикутника C становить 24 квадратних одиниць тому що \(\frac\cdot 12\cdot 4=24\) .

У кожному випадку одна сторона трикутника є основою, але жодна з інших сторін не є висотою. Це пояснюється тим, що кут між ними не є прямим кутом.

Однак у правильних трикутниках дві сторони, які перпендикулярні, можуть бути основою та висотою.

Площа цього трикутника становить 18 квадратних одиниць, незалежно від того, використовуємо ми 4 одиниці або 9 одиниць для основи.

Записи глосарію

Визначення: Протилежна вершина

Для кожної сторони трикутника є одна вершина, яка знаходиться не на тій стороні. Це протилежна вершина.

Наприклад, точка \(A\) – протилежна вершина в сторону \(BC\) .

Практика

Виберіть всі креслення, на яких правильно визначена \(h\) відповідна висота для даного \(b\) підстави.

Для кожного трикутника маркується основа і відповідна йому висота.

1. Знайдіть площу кожного трикутника.
2. Як пов’язана площа з підставою і відповідною йому висотою?

Ось прямокутний трикутник. Назвіть відповідну висоту для кожної основи.

Знайдіть площу затіненого трикутника. Покажіть свої міркування.

Малюнок \(\PageIndex\) : Квадрат із затіненим трикутником, що міститься всередині нього. Ліва і нижня сторони квадрата позначені 6, а права сторона позначена 2 над точкою, де вершина затіненого трикутника зустрічається зі стороною, і 4 нижче точки, де вершина зустрічається зі стороною.

Андре провів лінію, що з’єднує два протилежних кута паралелограма. Виділіть усі правдиві твердження щодо трикутників, створених лінією, намальованою Андре.

1. Кожен трикутник має дві сторони, які мають довжину 3 одиниці.
2. Кожен трикутник має сторону, яка має таку ж довжину, як і діагональна лінія.
3. Кожен трикутник має одну сторону, яка становить 3 одиниці довжини.
4. Коли один трикутник розміщений поверх іншого і їх сторони вирівняні, ми побачимо, що один трикутник більший за інший.
5. Два трикутника мають однакову площу, що і один з одним.

Ось восьмикутник. (Примітка: Діагональні сторони восьмикутника не мають довжину 4 дюйми.)

1. Оцінюючи площу восьмикутника, Лін міркував, що вона повинна бути менше 100 квадратних дюймів. Ви згодні? Поясніть свої міркування.
2. Знайдіть точну площу восьмикутника. Покажіть свої міркування.